Análisis y simulación numérica de fluidos relacionados con aproximaciones hidrostáticas

Zusammenfassung

Los modelos matemáticos de circulación global de la atmósfera y el océano terrestre han alcanzado una gran importancia en las últimas décadas, debido a que constituyen piezas básicas para modelos climáticos globales que, aun a pesar de su enorme complejidad, han empezado a ser abordables a medida que la potencia de cálculo de los ordenadores aumenta. En la tesis se desarrollan esquemas numéricos para la aproximación tanto de las Ecuaciones Primitivas del Océano (fluido hidrostático) como, de una forma más general, del problema más realista de las ecuaciones de Navier-Stokes Anisótropas (fluido ``casi-hidrostático''), evitando las inestabilidades numéricas que aparecen en la aproximación mixta con Elementos Finitos estándar. La práctica totalidad de los modelos numéricos que se emplean en la actualidad para el análisis y la resolución numérica de estos problemas se centran en fluidos hidrostáticos, que son integrados verticalmente y transformados así en esquemas integro-diferenciales. Éstos presentan numerosas ventajas pero también algunos inconvenientes, en particular son difícilmente implementables si el dominio es mallado de forma no estructurada en vertical. Este trabajo se centra en esquemas basados en triangulaciones generales del dominio, en general con mallas no estructuradas, lo que permite usar códigos de Elementos Finitos standard y técnicas asociadas como la adaptación de malla, así como sacar el máximo partido posible a las herramientas de software disponibles. Se proponen en la tesis dos métodos diferentes para la aproximación en espacio: 1) La introducción de nuevas combinaciones estables de Elementos Finitos en la formulación mixta de tipo Galerkin, aproximando de diferente forma las componentes horizontales de la velocidad respecto a la componente vertical (de hecho, la idea es aproximar con más grados de libertad la velocidad horizontal que la vertical). Esto conforma el Capítulo 2, donde se analiza desde distintos puntos de vista este hecho, incidiendo en que, además de una restricción similar a la bien conocida condición inf-sup (ó LBB) para el problema de Stokes (no hidrostático), es necesaria una segunda restricción sobre la velocidad vertical. En particular, en el Capítulo 2 se establecen condiciones necesarias para esta segunda restricción y se comprueba que no son verificadas por las combinaciones de Elementos Finitos más habituales para el problema de Stokes. Aparece, así, la necesidad de utilizar nuevas combinaciones estables de elementos finitos que sí verifiquen dicha restricción. Por este motivo, el Capítulo 1 realiza estudio previo sobre aproximaciones estables del problema de Stokes (no hidrostático) con distintos Elementos Finitos distintos para las distintas componentes de la velocidad. En concreto, se demuestra (para polinomios de grado 1, grado 2 y ``burbujas'') que, en mallas que no sean estructuradas verticalmente, para obtener una combinación de Elementos Finitos que sea estable (en el sentido LBB) es suficiente que el espacio donde se aproxima la velocidad horizontal sea más rico que el espacio de presiones, mientras que el espacio para la velocidad vertical puede aproximarse por los mismos Elementos Finitos que la presión. Numerosos experimentos numéricos corroboran resultados obtenidos en los Capítulos 1 y 2, además de sugerir respuestas sobre problemas abiertos, órdenes de error, etc. 2) En el Capítulo 3, la introducción de un término de tipo residual (proveniente de la ecuación de incompresibilidad) en la ecuación del momento lineal vertical permite estabilizar la consiguiente reformulación variacional, eliminando las restricciones sobre la velocidad vertical y permitiendo usar las aproximaciones por Elementos Finitos que son habituales en el problema de Stokes. Se demuestra que se puede garantizar la coercividad de la forma bilineal asociada a esta reformulación y así obtener tanto estimaciones de energía como estimaciones de error. Más aún, demostramos que se trata de estimaciones de error óptimas, lo cual es corroborado por simulaciones numéricas. Una segunda reformulación es introducida en el Capítulo 3, con la intención de controlar la derivada vertical de la presión. Para ello se añade un segundo término consistente, gracias al cual se demuestra que el esquema numérico está bien planteado y se obtienen nuevas estimaciones de error (que en este caso solamente son óptimas para elementos de tipo ``burbuja''). Aproximación en tiempo: En el capítulo 4 se estudia la aproximación en tiempo de modelos no lineales hydrostático y ``casi-hidrostático'' acoplados con densidad variable mediante la hipótesis de Boussinesq, donde la densidad depende de la salinidad y temperatura mediante una ecuación de estado (lineal), mientras que la salinidad y temperatura verifican sendas ecuaciones de convención-difusión (donde la convención acopla con el sistema de momentos). Se estudia un esquema en tiempo de primer orden lineal, que desacopla la parte fluido de la salinidad y temperatura, que es incondicionalmente estable en el sentido que hereda las estimaciones a priori del problema continuo. A continuación, se aborda un primer intento para crear un esquema completamente desacoplado. Para ello, se utiliza la técnica de proyección, que funciona satisfactoriamente en el caso del problema de Stokes (no hidrostático). El problema es que esta técnica no se extiende directamente para un problema hidrostático y, de hecho, se comprueba numéricamente que los esquemas ``casi-hidrostáticos'' son inestables cuando el cociente de aspecto (la razón entre profundidad y medidas horizontales) tiende a cero. Por último, se diseña un esquema completamente desacoplado que resulta estable numéricamente, tanto en esquemas hidrostáticos como ``casi-hidrostáticos'', cuando el cociente de aspecto tiende a cero. Además, se obtienen estimaciones a priori de este esquema, de manera formal. Respecto a la aproximación en espacio, se usa la formulación estable del Capítulo 3. En resumen, en la tesis se estudian, tanto desde el punto de vista analítico como numérico, nuevos esquemas numéricos en espacio y tiempo que son eficientes para fluidos hidrostáticos y casi-hidrostáticos.