Bases y operadores diferenciales en espacios de sucesiones

Résumé

La primera parte de esta memoria, está dedicada al estudio de bases dadas por los polinomios de Appell en el espacio ¿1(A), es decir, dada una serie formal invertible g(t), bajo qué condiciones la sucesión de Appell asociada a ella, es una base en un espacio de Köthe de sucesiones, Establecemos así una relación entre el Cálculo Umbral y la teoría de la aproximación de funciones en términos de sucesiones polinómicas. En primer lugar tratamos el problema cuando ¿1(A) es nuclear y damos un teorema de extensión de bases para espacios de funciones holomorfas en un disco de centro el origen. A continuación vemos que las sucesiones de Appell asociadas a una serie formal g(t) son una base en ¿1(A) si y sólo si el operador T, que es invariante por diferenciación, es un isomorfismo en ¿1(A). De este modo pasamos a estudiar los isomorfismos en ¿1(A) que conmutan con D, dando distintas condiciones dependiendo del conjunto de valores propios del operador derivada. Posteriormente se generalizan algunos de los Resultados anteriores, cuando utilizamos la derivada de Gelfand-Leontev, conocida también como derivación generalizada, y el Cálculo Umbral no clásico. Finalmente, se trata la equivalencia de operadores diferenciales, es decir, dados dos operadores T1,T2, en el espacio ¿1(A), estudiamos la existencia de un isomorfismo S tal que Comenzamos el estudio de la equivalencia, en un espacio nuclear ¿1(A), de dos operadores diferenciales cuando los coeficientes son constantes, viendo la forma general que tiene el operador S y estudiando, posteriormente condiciones para que sea isomorfismo. También escribimos estas condiciones para los espacios de series de potencias de tipos finito e infinito. Pasamos después a tratar la equivalencia de dos operadores diferenciales cuyos coeficientes son elementos del propio espacio ¿1(A), pero en este caso tenemos que considerar que el espacio es un límite proyectivo de álgebras de Banach, para que tenga sentido el producto de dos elementos.