Reducción y conservación de simetrías

Résumé

La tesis trata sobre el estudio de la generalización del método clásico de Lie para efectuar reducciones de orden en ecuaciones diferenciales ordinarias, El tema de estudio está motivado por la existencia de reducciones de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como en derivadas parciales, que no son consecuencia de la existencia de simetrías de Lie. Se introduce una nueva clase de simetrías(llamadas C -simetrías) para ecuaciones diferenciales ordinarias. Se observa que estas nuevas simetrías, no sólo resultan tan efectivas en procesos de reducción de orden como las simetrías de Lie, sino que permiten reducir el orden de ecuaciones para las que el método de Lie no es aplicable, como muestran ejemplos recogidos en la memoria. Se ofrece asimismo un algoritmo para el cálculo de las C -simetrías, incluyéndose como apéndice un listado instrucciones para Macsyma que calcula de forma automática las ecuaciones determinantes de las nuevas simétrias. Se desarrollan en la memoria otros aspectos teóricos en ecuaciones de orden arbitrario. Se recogen ejemplos de ecuaciones de segundo orden que no admiten simetrías de Lie, pero sí C -simetrías. Se establece la relación de las nuevas simetrías con otros tipos de simetrías conocidos, como las simetrías de contacto y las simetrías generalizadas. Se introduce el concepto de C -simetrías para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y ejemplos de resolución de sistemas mediante el método de las -simetrías, en casos en los que el método clásico de Lie no es aplicable. Por otro lado, se estudia la aplicación de las nuevas simetrías al estudio de la conservación de simetrías por reducciones de orden. En resumen, se muestra cómo la nueva teoría posibilita la recuperación, con C -simetrías de la ecuación reducida, de simetrías de Lie que aparecen en la etapa inicial y que se pierden por efecto de las reducciones de orden realizadas. Es