Métodos de transformaciones aplicados a problemas de difusión

Resumen

El objetivo principal de esta tesis es desarrollar y aplicar los m\étodos de transformaci\'ones a diferentes modelos de difusión que se emplean como modelos matemáticos para varios fen\'omenos: el transporte en medios porosos, conducción térmica, la evolución de las colonias bacterianas, la física del plasma, movimiento de agua en el suelo, la combustión, por citar algunos. En la actualidad, la ciencia y la ingeniería se basan en procesos que por lo general son modelados por ecuaciones diferenciales no lineales entonces muy a menudo es difícil obtener soluciones exactas para estos modelos. El enfoque el método de las transformaciones de Lie (simetrías clásicos y no clásicos, transformaciones de Blacklund, simetrías aproximadas, etc.) podría considerarse un hito en la búsqueda de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. De hecho, aunque estas técnicas no siempre son capaces de caracterizar el conjunto de soluciones, permiten obtener soluciones exactas de una manera metodológica. Esta tesis consta de dos partes. En la primera parte presentamos algunos antecedentes necesarios sobre la materia: algunos conceptos del método de grupo de Lie, transformaciones de equivalencia para ecuaciones diferenciales e sus invariantes diferenciales, nonlinear self-adjointness, así como las leyes conservativas. La segunda parte se refiere a las aplicaciones del concepto de nonlinear self-adjointness. Como las leyes de conservación se pueden asociar con simetrías para todas las ecuaciones diferenciales y sistemas nonlinearly self-adjoint, por consiguiente, una importancia práctica de la condición de nonlinear self-adjointness está en la construcción de leyes de conservación. Además vamos a demostrar que podemos utilizar el concepto de nonlinear self-adjointness para dar condiciones necesarias para la existencia de una transformación puntual invertible que transforma una ecuación en derivadas parciales dada a una ecuación en derivadas parciales lineal.