Contribución al control de estados de equilibrios inestables en sistemas dinámicosaplicación al control de sistemas caóticos

Zusammenfassung

Un sistema dinámico es un sistema que varía con el tiempo y que viene descrito por un espacio de estados o fases junto con la ley que determina la dinámica del sistema. Cuando en el mismo se produce un cambio cualitativo en la estructura de dicho espacio de fases debido a la variación de algún parámetro, se dice que se ha producido una bifurcación. La variación de éste puede inducir un cambio en el número de equilibrios del sistema dinámico, dichos equilibrios pueden ser estáticos (puntos de equilibrios) o dinámicos (ciclos límite, órbitas cuasi-periódicas y atractores extraños). Las órbitas periódicas inestables (¿Unstable Periodic Orbits¿, UPOs) son ciclos límite inestables que se encuentran embebidos en el atractor extraño de un sistema caótico, es decir, son órbitas solución del sistema dinámico. En esta memoria de investigación se propone un método de control híbrido adaptativo para estabilizar órbitas periódicas inestables embebidas en sistemas caóticos. El proceso de síntesis del controlador se ha llevado a cabo en tres fases: en la primera se ha implementado un controlador híbrido, en la segunda un controlador adaptativo y en la tercera fase se han integrado ambos controladores para obtener un controlador híbrido adaptativo muy versátil. Todas las fases de diseño han sido probadas mediante simulación y experimento, habiéndose realizado también, un análisis de estabilidad de las mismas. Dichas fases se describen brevemente a continuación: Fase 1.- El método de control híbrido se compone de dos controladores uno en tiempo discreto y otro en tiempo continuo. El controlador en tiempo continuo está basado en un modelo de referencia conducido oculto, un modelo de referencia conducido (MRC) de la planta se obtiene sustituyendo las variables de estado que afectan al vector de campo del modelo por las correspondientes medidas de las variables de estado de la planta; el MRC oculto se obtiene realizando un cambio de variables en el sistema de control, el cual, permite sustituir el MRC por la dinámica de error entre dicho modelo y la planta controlada. Este método de control, bajo ciertas condiciones paramétricas, puede llevar a la planta a un entorno de un ciclo límite que es originalmente inestable en la planta sin control, es decir, la acción del controlador sobre la planta en bucle cerrado, bajo ciertos parámetros de control, provoca una bifurcación en algunos equilibrios dinámicos de la misma que eran originalmente inestables en bucle abierto. Dicha bifurcación, provocada por el ajuste de los parámetros del controlador, estabiliza un determinado tipo de ciclos límite inestables, denominados, Orbitas Periódicas Inestables (Unstable Periodic Orbit, o UPOs en su acrónimo ingles) que se encuentran embebidos en los atractores extraños de las plantas caóticas sin control. Fase 2.- El método de control adaptativo está basado en un modelo de referencia conducido (MRC). Un MRC es un modelo de referencia (MR) de la planta a controlar, en el cual, se han sustituido las variables de estado de su vector de campo por medidas de las correspondientes variables de estado de la planta en bucle cerrado. Dicho método lleva a la planta en bucle cerrado a la vecindad de un punto de operación estable elegido previamente en el MRC. Éste método de control ha sido utilizado para estabilizar procesos caóticos en un entorno de ciclos límite o puntos de equilibrio que pertenecen a la dinámica propia de la planta sin control, es decir, el método de control se basa en la variación indirecta de un determinado parámetro de bifurcación de la planta. Fase 3.- El método de control híbrido adaptativo permite estabilizar orbitas periódicas inestables. El mismo, está compuesto por la acción conjunta de los dos métodos de control propuestos en las fases uno y dos. El acoplo conveniente de ambos controladores permite crear la sinergia necesaria para que surja una nueva propiedad emergente del sistema compuesto, a saber, la estabilización del sistema de control en el en torno de una UPO de la planta a controlar. A continuación se presentan de forma resumida las diferentes partes desarrolladas en las fases uno dos y tres durante la realización de esta tesis. Fase 1: - Se ha desarrollado un estudio analítico de un sistema de control impulsivo con retardo. - Se ha presentado un nuevo método de control híbrido con modelo de referencia conducido que estabiliza plantas en la vecindad de órbitas periódicas inestables, siendo las plantas a controlar autónomas o forzadas, dicho sistema permite utilizar un modelo de referencia parcial. - Se ha realizado una transformación del sistema de control híbrido con modelo de referencia conducido, obteniéndose como resultado un sistema equivalente con el modelo de referencia oculto, con la consiguiente ventaja que ello conlleva en cuanto a incertidumbres paramétricas y estructurales se refiere. Dicho sistema estabiliza plantas o procesos caóticos en el entorno de órbitas periódicas inestables, siendo estos procesos autónomos o forzados. - Se ha desarrollado un estudio de estabilidad del sistema de control híbrido con modelo oculto, y se da una prueba analítica de la convergencia a UPOs de las trayectorias del sistema controlado. - Se ha implementado un algoritmo para la sintonización de los parámetros del sistema de control híbrido con modelo de referencia oculto. - Se han realizado simulaciones numéricas en Basic y C++ del sistema de control híbrido con modelo oculto implementado en varios sistemas caóticos e hipercaóticos, utilizando los integradores numéricos de Runge Kutta de 4º orden y Euler directo, ambos con paso de integración fijos, habiéndose obtenido en todos los casos estudiados, ciclos límites estabilizados en la vecindad de orbitas periódicas inestables. Las figuras se han obtenido con el paquete informático Matlab. - Se ha implementado experimentalmente el sistema de control híbrido con modelo oculto en dos osciladores caóticos, uno forzado y otro autónomo, obteniéndose resultados que avalan la convergencia a UPOs obtenidas por simulación. - Se ha implementado un sistema criptográfico basado en el método de control híbrido con modelo oculto. Fase 2: - Se ha presentado un sistema de control adaptativo que utiliza modelos de referencias parciales o completos. Se ha realizado un análisis de estabilidad, utilizando el método directo de Lyapunov. Se han realizado experimentos numéricos en modelos de sistemas caóticos con el controlador aplicado y se ha implementado experimentalmente en un oscilador caótico forzado con resultados satisfactorios. Fase 3: - Se ha presentado un nuevo método de control híbrido adaptativo mediante la integración del sistema de control híbrido con modelo oculto y el sistema de control adaptativo con modelo de referencia, se ha realizado un estudio de estabilidad obteniéndose un algoritmo para el ajuste de parámetros. - Se ha implementado experimentalmente el sistema de control híbrido adaptativo en dos osciladores caóticos uno autónomo y otro forzado, con resultados satisfactorios.