Estudio de la estabilidad y control de los sistemas cambiantes

Resumen

Dentro de la teoría de control, un sistema cambiante es un tipo de sistema formado por varios subsistemas y por una ley cambiante que determina qué subsistema está activo en cada instante de tiempo. El interés por este tipo de sistemas surge del hecho de que ciertos fenómenos y procesos reales no se pueden modelizar con un sólo sistema o no se pueden controlar con una sóla variable de control. Dentro del estudio de estos sistemas cambiantes, en este trabajo nos hemos centrado en la estabilidad y la convergencia. En el primer capítulo presentamos los conceptos y resultados básicos de la teoría de control y, en particular, de los sistemas cambiantes. Definimos formalmente un sistema de control y las propiedades que pueden verificar (controlabilidad, alcanzabilidad y estabilidad). Basándonos en estos conceptos y en la definición de las leyes cambiantes, que son las funciones que determinan qué subsistema tomar en cada momento, definimos los sistemas cambiantes. Asimismo, definimos más formalmente la estabilidad de sistemas cambiantes e introducimos un concepto nuevo sólo aplicable a sistemas cambiantes y relacionado con la propiedad clásica de estabilidad. El siguiente capítulo es una primera aproximación a la propiedad de estabilidad para sistemas cambiantes. Dados N subsistemas lineales y una ley cambiante que determina qué subsistema tomamos en cada instante, nos preguntamos si este sistema es estable o no. En particular, nos hacemos la siguiente pregunta: si todos los subsistemas son estables (resp. inestables), ¿es el sistema cambiante estable (resp. inestable) para cualquier ley cambiante? Pues bien, la respuesta es no y en el capítulo 2 construimos ejemplos que lo demuestran. Partiendo del problema del capítulo anterior sobre la estabilidad de un sistema formado por subsistemas inestables, surge el estudio que realizamos en el capítulo 3. En los ejemplos del capítulo 2, vimos que es posible encontrar leyes cambiantes tales que el sistema no es inestable, es decir, existen condiciones iniciales para los que la trayectoria del sistema se acerca al punto de equilibrio. Por tanto, en el capítulo 3, presentamos un método para encontrar las condiciones iniciales para las que existe una ley cambiante tal que la solución converge al punto de equilibrio. A estas condiciones iniciales y a estas leyes cambiantes las llamaremos convergentes. De esta forma, el problema que resolvemos en este capítulo consiste en determinar, dadas dos matrices inestables en el plano, cuáles son las condiciones iniciales convergentes, definiendo, en cada caso, la ley cambiante convergente. Para realizar este estudio, nos basamos en el artículo de Xu y Antsaklis (2000) donde se utiliza una idea geométrica para resolver el problema de la estabilización de dos subsistemas inestables en el plano. De esta forma, generalizamos el método de estos autores y lo aplicamos a cualquier par de matrices en el plano completando el estudio de Xu y Antsaklis (2000). El método presentado en este capítulo nos permite definir una ley cambiante convergente de forma que, para esta ley, la solución converge al origen y los cambios entre subsistemas vienen, por tanto, fijados por dicha ley. En el capítulo 4 nos planteamos si seguimos teniendo convergencia, aunque los cambios se produzcan con cierto retardo constante. Para este caso, resolvemos el problema para estos sistemas cambiantes lineales en el plano. Tras resolver el problema de la convergencia para sistemas cambiantes en el plano, en el capítulo 5, intentamos resolver el mismo problema para sistemas cambiantes de orden superior. Para esto, utilizamos proyecciones de la siguiente forma: dada una familia de matrices que forman un sistema lineal cambiante, si estas matrices tienen un subespacio común invariante, entonces, utilizando las proyecciones de estos subsistemas, se demuestra que el sistema cambiante original es convergente si y sólo si el sistema cambiante formado por las proyecciones es convergente. Además, la ley cambiante que hace el sistema convergente es la misma para ambos sistemas. Tras estudiar la convergencia para sistemas lineales cambiantes en el plano, en el capítulo 6 estudiamos este mismo problema de forma que, utilizando el método del caso lineal, resolvemos el problema de asegurar la convergencia de sistemas cambiantes no lineales. De esta forma, conseguimos mejorar los resultados de Hu et al (1999) para el caso no lineal, pues aseguramos la convergencia para regiones más grandes. Esto es, existen condiciones iniciales (estados) para las que la ley cambiante definida por Hu et al (1999) no hace que la solución converja al origen y, sin embargo, utilizando la ley cambiante definida en este capítulo sí se consigue la convergencia. En el capítulo 7, damos un paso más en el estudio de la convergencia de sistemas cambiantes no lineales de segundo orden. Una vez que las condiciones para la convergencia se han establecido, el siguiente problema es encontrar los estados convergentes, es decir, las condiciones iniciales para las cuales existe una ley cambiante tal que la solución del sistema cambiante converge al origen. En este capítulo, resolvemos este problema para una clase de sistemas cambiantes no lineales en el plano, pues obtenemos el conjunto de los estados convergentes. Además, se prueba que, bajo ciertas condiciones, este conjunto está delimitado por una trayectoria periódica del sistema cambiante. Un concepto relacionado con el de solución periódica es el ciclo límite. En este capítulo, se incluye también un resultado que prueba que la anterior solución periódica es un ciclo límite del sistema cambiante. Finalmente, en el capítulo 8 presentamos una nueva idea para obtener la convergencia de sistemas cambiantes. El objetivo es poder aplicar esta idea a sistemas de cualquier orden. En este capítulo presentamos los primeros resultados relacionados con este método y su aplicación a los sistemas lineales cambiantes. En el plano demostramos que esta idea funciona y en dimensión 3 presentamos distintos ejemplos donde se muestra la viabilidad del método.