Open problems on topological vector spaces with applications to inverse problems in bioengineering

Resumen

Un subconjunto totalmente anti-proximinal de un espacio vectorial es un subconjunto propio no vacío que no tiene un punto más cercano, cualquiera que sea la norma con la que esté dotado el espacio vectorial. Se dice que un espacio vectorial topológico localmente convexo y de Hausdorff tiene la propiedad anti-proximinal (débil) si cada subconjunto totalmente anti-proximinal (absolutamente) convexo es no raro. La Conjetura de Ricceri, planteada por el profesor Biaggio Ricceri, establece la existencia de un espacio normado no completo que satisface la propiedad anti-proximinal. En esta tesis doctoral nos acercamos a la Conjetura de Ricceri positivamente demostrando que un espacio vectorial topológico de Hausdorff y localmente convexo goza de la propiedad anti-proximal débil si y sólo si es tonelado. Como consecuencia, mostramos la existencia de espacios normados no completos que satisfacen la propiedad anti-proximal débil. También introducimos una nueva clase de conjuntos convexos llamados cuasi absolutamente convexos y demostramos que un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff satisface la propiedad anti-proximal débil si y sólo si cada subconjunto casi absolutamente convexo totalmente anti-proximinal es no raro. Esto último proporciona otra solución positiva parcial a la Conjetura de Ricceri con muchas aplicaciones a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. También estudiamos la estructura intrínseca de los subconjuntos convexos totalmente anti-proximinales demostrando, entre otras cosas, que la envoltura absolutamente convexa de un conjunto convexo totalmente anti-proximinal linealmente acotado debe ser finitamente abierta. Como consecuencia de esto, se proporciona una nueva caracterización del concepto de tonelación en términos de comparación de normas. Otro de nuestros avances consiste en demostrar que un subconjunto totalmente anti-proximal absolutamente convexo de un espacio vectorial es linealmente abierto. También probamos que si cada subconjunto convexo totalmente antiproximinal de un espacio vectorial es linealmente abierto entonces la Conjetura de Ricceri es verdadera. También demostramos que el concepto de anti-proximinalidad total no tiene sentido en el ámbito de los espacios pseudo-normados. Saliéndonos un poco de la Conjetura de Ricceri, estudiamos también algunas propiedades geométricas relacionadas con el conjunto Π X := {(x, x ∗ ) ∈ S X × S X ∗ : x ∗ (x) = 1} obteniendo dos caracterizaciones de los espacios de Hilbert en la categoría de espacios de Banach. También calculamos la distancia de un elemento genérico (h, k) ∈ H ⊕ 2 H a Π H para H un espacio de Hilbert. Como aplicación de nuestros resultados matemáticos, combinamos un método de elementos de contorno inverso y técnicas de optimización eficientes para producir un marco versátil para diseñar bobinas TMS verdaderamente óptimas. El enfoque presentado puede ser visto como una mejora del trabajo introducido por Cobos Sánchez et al. donde la optimalidad de las soluciones de las bobinas resultantes no estaba garantizada. Este nuevo marco numérico ha sido aplicado eficientemente para producir bobinas TMS con geometría arbitraria, per mitiendo la inclusión de nuevas características de la bobina en el proceso de diseño, tales como la densidad de corriente máxima optimizada o la temperatura reducida. Incluso las propiedades estructurales de la cabeza se han considerado para producir estimuladores TMS más realistas. Se diseñaron y simularon varios ejemplos de bobinas TMS para demostrar la validez del enfoque propuesto.