Estudio de diversos sistemas Drinfeld-Sokolov y de un modelo de Barenblatt-Gilman mediante teorías de grupos de transformaciones

Resumen

Esta tesis se centra en el estudio de ecuaciones en derivadas parciales y sistemas de ecuaciones en derivadas parciales que modelan multitud de situaciones presentes en la naturaleza, como fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc. La enorme importancia de estas ecuaciones en las matemáticas y especialmente la importancia de sus aplicaciones se debe al hecho de que la investigación de muchos problemas de Ciencia y Tecnología se describen por estas ecuaciones. Por ejemplo, con frecuencia, las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones en derivadas parciales siendo éstas una expresión cuantitativa de dichas leyes. Por ello, el campo de estudio en el que se centra la tesis se vuelve primordial para obtener soluciones de los modelos o para buscar leyes que los apoyen, quedando ésta enmarcada dentro de un marco actual y significativo. Algunos de los modelos involucrados en esta memoria vienen definidos a partir de ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes variables, en ellas los coeficientes son funciones arbitrarias y no constantes. La importancia de estos modelos reside en el hecho de que describen muchos fenómenos no lineales ajustándose mejor a la realidad que aquellos que vienen representados mediante ecuaciones con coeficientes constantes. Los modelos estudiados son modelos eminentemente prácticos y aplicables a la vida real, con lo que resulta tan necesario obtener soluciones de los mismos como estudiar sus propiedades físicas. En el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales, el cálculo de las simetrías admitidas por una ecuación es una herramienta ampliamente utilizada. Conocer el grupo de simetrías permite reducir el número de variables que intervienen en la ecuación en derivadas parciales, reducir el orden de una ecuación diferencial ordinaria, obtener nuevas soluciones a partir de las ya conocidas o clasificar las ecuaciones. Además, las soluciones obtenidas mediante las reducciones por simetrías ilustrarán en muchas ocasiones fenómenos físicos importantes. El método de Lie es de las técnicas más conocidas para obtener simetrías, sin embargo, no es el único método trabajado en esta tesis. También se han estudiado el método no clásico y el método de las simetrías potenciales que permiten, en general, obtener nuevas simetrías y mediante ellas nuevas reducciones que nos guíen a nuevas soluciones. No sólo se buscan soluciones de los modelos propuestos sino que también se estudian sus propiedades. En este punto entran en juego las leyes conservativas, concepto que surge de la física. Las leyes conservativas describen propiedades físicas que permanecen constantes a través de los diversos procesos que ocurren en el mundo físico. Por ejemplo, si se pone una cierta cantidad de energía en un sistema, la energía que resulta de ese sistema será la misma que la energía puesta en él. Y no sólo se conserva la energía sino que existen diversidad de leyes conservativas como la conservación del momento lineal, del momento angular o de la carga eléctrica. Los modelos estudiados han sido divididos en dos bloques principales. El primer bloque trata ecuaciones involucradas en la modelización de ondas. En este bloque se ha estudiado el sistema de Drinfeld-Sokolov generalizado, la ecuación generalizada Benjamin–Bona–Mahony–Burgers, una generalización de la ecuación KdV de quinto orden y la ecuación KdV de sexto orden. El segundo bloque está relacionado con ecuaciones en medio poroso. Las ecuaciones estudiadas en este bloque son el modelo de Barenblatt–Gilman, la generalización de la ecuación de un fluido débilmente compresible, la generalización de la ecuación del flujo de gas isotérmico y la ecuación de filtración-absorción en (2+1) dimensiones.