Lambda-simetrías y estructuras resolubles en la resolución de ecuaciones diferenciales (lambda-symmetries and solvable structures in differential equations)

Resumen

En esta tesis se desarrollan procedimientos basados en lambda-simetrías y estructuras resolubles con el objetivo de obtener soluciones exactas e integrales primeras de ecuaciones diferenciales ordinarias. En primer lugar, se consideran ecuaciones de segundo orden que admiten dos lambda-simetrías generalizadas y se describe un prodecimiento que permite obtener un álgebra abeliana de simetrías generalizadas a partir de las \lambda-simetrías dadas. Dichas simetrías forman, junto con el campo vectorial asociado a la ecuación, un álgebra abeliana y, por ende, un caso particular de estructura resoluble con respecto al campo vectorial asociado a la ecuación. Una vez que dicha estructura resoluble es determinada, dos integrales primeras de la ecuación pueden ser obtenidas por cuadraturas. Seguidamente, se describe un procedimiento diferente para obtener integrales primeras por cuadraturas. Para ello se consideran ecuaciones de segundo order que admiten una lambda-simetría y una simetría de Lie. La idea en este caso consiste en determinar una estructura resoluble, no con respecto al campo vectorial asociado a la ecuación, sino asociado a la lambda-simetría. Esto permite obtener una integral primera de la ecuación por cuadraturas. Este método es aplicado a ecuaciones de Liénard de tipo I. En segundo lugar, se estudian ecuaciones diferenciales ordinarias de tercer orden que admiten un álgebra de simetría no resoluble de dimensión tres. Para este tipo de ecuaciones se demuestra la existencia de estructuras resolubles construidas a partir de los generadores del álgebra. Este resultado teórico permite calcular un sistema completo de integrales primeras por cuadraturas y la solución general en forma paramétrica para este tipo de ecuaciones, expresadas en términos de soluciones de ecuaciones lineales de segundo orden. Estos resultados se aplican a una ecuación de cuarto order que admite a sl(2,R) como álgebra de simetría. Dicha ecuación constituye un caso particular de la ecuación de viga de Euler-Bernoulli correspondiente al caso estático. Se consigue integrar completamente dicha ecuación, expresando su solución general en forma paramétrica en términos de funciones elípticas de Weierstrass. Otras familias biparamétricas y triparamétricas de soluciones son obtenidas como casos singulares del procedimiento general. Los resultados obtenidos para ecuaciones de tercer orden que admiten un álgebra de simetría no resoluble de dimensión tres se generalizan a ecuaciones de orden arbitrario n. Para ello se introduce el concepto de estructura resoluble generalizada. Se demuestra que la determinación de una estructura resoluble generalizada permite obtener la solución general en forma paramétrica y en términos de soluciones de una familia (n-3)-paramétrica de ecuaciones lineales de segundo orden. Los resultados derivados del estudio de ecuaciones de segundo orden que admiten dos lambda-simetrías se generalizan también a ecuaciones de orden n. Se introduce el concepto de par involutivo de lambda-simetrías con el fin de construir una estructura resoluble parcial con respecto al campo vectorial asociado a la ecuación. También se demuestra que un par involutivo de lambda-simetrías puede ser usado para reducir sucesivamente en dos unidades el orden de la ecuación. Se describen diferentes técnicas de integración basadas en estos dos resultados. En la parte final de la memoria, se consideran problemas variacionales de orden n que admiten dos lambda-simetrías variacionales. Para este tipo de problemas se define el concepto de par resoluble de lambda-simetrçias variacionales y se demuestra que un par resoluble de lambda-simetrías variaciones permite reducir el order de la ecuación de Euler--Lagrange asociada al problema variacional en cuatro unidades. Como consecuencia, una familia (2n-2)-paramétrica de soluciones de la ecuación de Euler--Lagrange original puede ser reconstruida a partir de la solución de la ecuación reducida mediante la resolución sucesiva de dos ecuaciones de primer orden.