Strong resolvability in product graphs.

Résumé

En aquesta tesi s'estudia la dimensió mètrica forta de grafs producte. Els resultats més importants de la tesi se centren en la recerca de relacions entre la dimensió mètrica forta de grafs producte i la dels seus factors, juntament amb altres invariants d'aquests factors. Així, s'han estudiat els següents productes de grafs: producte cartesià, producte directe, producte fort, producte lexicogràfic, producte corona, grafs unió, suma cartesiana, i producte arrel, d'ara endavant "grafs producte". Hem obtingut fórmules tancades per la dimensió mètrica forta de diverses famílies no trivials de grafs producte que inclouen, per exemple, grafs bipartits, grafs vèrtexs transitius, grafs hamiltonians, arbres, cicles, grafs complets, etc, i hem donat fites inferiors i superiors generals, expressades en termes d'invariants dels grafs factors, com ara, l'ordre, el nombre d'independència, el nombre de cobriment de vèrtexs, el nombre d'aparellament, la connectivitat algebraica, el nombre de cliqué, i el nombre de cliqué lliure de bessons. També hem descrit algunes classes de grafs producte, on s'assoleixen aquestes fites. És conegut que el problema de trobar la dimensió mètrica forta d'un graf connex es pot transformar en el problema de trobar el nombre de cobriment de vèrtexs de la seva corresponent graf de resolubilitat forta. En aquesta tesi hem aprofitat aquesta eina i hem trobat diverses relacions entre el graf de resolubilitat forta de grafs producte i els grafs de resolubilitat forta dels seus factors. Per exemple, és notable destacar que el graf de resolubilitat forta del producte cartesià de dos grafs és isomorf al producte directe dels grafs de resolubilitat forta dels seus factors.