Aplicaciones cuasiconformes y geometría del dominio

Resumen

Los resultados presentados en esta tesis tienen una doble finalidad. Por un lado, comprender mejor la relación existente entre la geometría de un cuasicírculo y las propiedades de la dilatación compleja de la aplicación cuasiconforme asociada. Por otro lado, utilizar estos resultados para resolver el problema de la corona en dominios cuya frontera está contenida en un determinado tipo de cuasicírculo. El primer problema de la corona fue resuelto por Carleson para el disco unidad. Este resultado ha sido de gran importancia en el Análisis Complejo y Armónico ya que de ahí surgió de manera natural uno de los pilares de la teoría de funciones: el concepto de medida de Carleson. La conjetura, todavía abierta, es que el teorema de la corona es cierto para cualquier dominio plano. En particular, nosotros estamos interesados en aquellos dominios cuya frontera, E, esté contenida en un cuasicírculo. Todos los resultados en este tipo de dominios asumen una condición extra de homogeneidad en la frontera, excepto en los dominios para los que E está en la recta real (dominio Denjoy) o en una curva C^(1+α). El teorema de la corona para dominios Denjoy fue demostrado por Garnett y Jones. Su demostración implica resolver una ecuación definida con el operador ∂ ̅. El uso de la simetría del dominio juega también un papel fundamental. Más tarde, Moore extendió el teorema a dominios con frontera en una curva C^(1 +α). Para ello, demostró que las funciones analíticas y acotadas en estos dominios y en los dominios Denjoy son muy parecidas. En este trabajo mostramos cómo el resultado de Moore se puede obtener transfiriendo el problema a un dominio Denjoy a través de la aplicación cuasiconforme del plano que lleva la recta real a la curva. Esta nueva estrategia transforma una ecuación definida en el dominio original por el operador ∂ ̅ en otra ecuación basada en el operador ∂ ̅-μ∂ en el dominio Denjoy. Para ello, establecemos las condiciones en μ que caracterizan las curvas C^(1+α) y demostramos que dichas condiciones nos permiten dar una demostración diferente a la dada por Moore. En nuestro último artículo, presentamos un resultado completamente nuevo al demostrar que el teorema de la corona es cierto en aquellos dominios cuya frontera (no es necesario asumir la hipótesis de homogeneidad) esté contenida en ciertos cuasicírculos suaves, aunque no necesariamente suaves Dini. Estos cuasicírculos vienen definidos a través de la dilatación compleja para la que fijamos dos nuevas condiciones de suavidad. Finalmente, cabe mencionar que los resultados que hemos obtenido y que relacionan la regularidad de ciertos cuasicírculos con las propiedades de la dilatación compleja amplían nuestro conocimiento en este problema, un problema de gran importancia en el campo de las aplicaciones cuasiconformes.