Simetrías de lie, leyes de conservación y análisis de Painlevé. Aplicaciones a modelos viscoelásticos

Resumen

En los últimos años, las ecuaciones en derivadas parciales se han usado para modelar diversos fenómenos de la física y otras ciencias, apareciendo habitualmente como modelos distribuidos en el espacio y el tiempo, como la viscoelasticidad. En particular, las ecuaciones en derivadas parciales no lineales surgen en muchas áreas de la física (ecuaciones de evolución, propagación de una señal), la química (sistemas de reacción-difusión) y la biología (competencia de especies), entre otras ciencias. En esta tesis doctoral se estudian modelos matemáticos descritos por ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que describen el comportamiento del medio viscoelástico. El análisis de las ecuaciones se realiza desde el punto de vista de la teoría de Lie, a través de la obtención de simetrías y reducciones, así como de la obtención de soluciones. Se consideran ecuaciones en derivadas parciales no lineales relacionadas con la viscoelasticidad de los materiales, es decir, materiales que presentan tanto propiedades viscosas como propiedades elásticas. En primer lugar, se considera una ecuación viscoelástica unidimensional con deformación limitada, que describe el comportamiento del medio viscoelástico unidimensional. Se trata de un modelo basado en los dos conceptos principales de la viscoelasticidad, la tensión y la deformación, donde la deformación mantiene valores pequeños y, por ello, se menciona como limitada. Dos de los modelos más usados habitualmente para describir el comportamiento viscoelástico son los modelos de Kelvin-Voigt y de Maxwell. En esta tesis doctoral, en segundo lugar, se estudia una generalización de la ecuación de viscoelasticidad del modelo de Kelvin-Voigt, que consiste en un modelo de parámetros parecido a un muelle y un amortiguador en paralelo. En tercer lugar, se estudia una ecuación de Korteweg-De Vries de séptimo orden generalizada. Esta conocida ecuación es una de las ecuaciones en derivadas parciales de mayor interés y se caracteriza principalmente porque presenta efectos de no linealidad y dispersión a la vez. Como cuarto modelo se toma una ecuación de onda fuertemente amortiguada cuasilineal. Este modelo describe la vibración longitudinal de una barra, con tensión no lineal, dada por una de las funciones que intervienen en ella, y aparece en el estudio del movimiento viscoelástico en materiales como los polímeros. Adicionalmente, como quinto modelo se analiza una ecuación de onda viscoelástica no lineal, con términos fuente y de amortiguamiento. El estudio que se realiza en esta tesis doctoral tiene como objetivo, entre otras cosas, hallar soluciones exactas para algunas de las ecuaciones en derivadas parciales no lineales. Existen muchas técnicas para la obtención de soluciones exactas de ecuaciones diferenciales, pero muchas solo son válidas para un tipo de ecuaciones en particular. Sin embargo, los grupos de simetrías son una poderosa herramienta en la búsqueda de soluciones exactas. Hallar las simetrías de una ecuación permite reducir el número de variables independientes de la ecuación y, por lo tanto, transformar una ecuación en derivadas parciales, con dos variables independientes, en una ecuación diferencial ordinaria, la cual es, a priori, más fácil de resolver. El análisis de las simetrías de Lie se realiza haciendo uso del método de las simetrías de Lie, basado en la teoría de los grupos de Lie de transformaciones infinitesimales. Tras la aplicación de este método, se realiza la clasificación de las simetrías, el cálculo del sistema óptimo de subálgebras de Lie unidimensionales y la obtención de variables y soluciones de similaridad. Es importante clasificar las soluciones invariantes a partir de la clasificación de las simetrías, obteniendo así el conjunto denominado sistema óptimo de soluciones invariantes, de forma que cualquier otra solución invariante puede ser derivada de una de las que forman el sistema óptimo. El problema de obtener un sistema óptimo de estos subgrupos es equivalente a obtener el sistema óptimo de subálgebras. Para este problema de clasificación se usa la representación adjunta. Luego, como ya se ha mencionado anteriormente, se transforma la ecuación en derivadas parciales, con dos variables independientes, en al menos una ecuación diferencial ordinaria, haciendo uso de las variables y soluciones de similaridad. Para la obtención de soluciones exactas se aplican distintos métodos directos, una vez reducida la ecuación en derivadas parciales inicial a una ecuación diferencial ordinaria. Por un lado, los métodos directos aplicados en este trabajo son el método de expansión (G'/G) y el método de la función elíptica de Jacobi. Por otro lado, se hace uso de un procedimiento distinto; se considera una ecuación similar a la original, con soluciones ya conocidas, y se halla la transformación entre la ecuación inicial y esta ecuación de soluciones conocidas. Luego, aplicando estos distintos procesos, se determinan soluciones exactas para las distintas ecuaciones en derivadas parciales. Además, en este trabajo se hallan las leyes de conservación que admite cada modelo, es decir, sus propiedades físicas que no varían con el tiempo. Para ello, se hace uso del método de los multiplicadores, que permite la obtención de las leyes de conservación para ecuaciones en derivadas parciales. La obtención de leyes de conservación resulta muy útil para determinar cantidades conservadas y constantes de movimiento, ya que se obtiene una clasificación completa de todas las leyes de conservación. Por último, con el objetivo de obtener más información acerca de un modelo, se realiza el análisis de Painlevé, que verifica la integrabilidad de una ecuación. Se trata de determinar si una ecuación en derivadas parciales cumple la propiedad de Painlevé. Esta propiedad permite realizar una mejor descripción de un modelo, al mismo tiempo que se trata de un método eficiente para determinar la integrabilidad de una ecuación. De los resultados obtenidos del estudio realizado a cada uno de los modelos matemáticos, se han publicado artículos en revistas pertenecientes al Journal Citation Reports. Además, los resultados se han presentado en distintos congresos de carácter internacional.