Linear and algebraic structures in function sequence spaces

Resumen

Históricamente han sido muchos los matemáticos de todas las ´épocas que se han sentido atraídos y fascinados por la existencia de grandes estructuras algebraicas que satisfacen ciertas propiedades que, a priori, pueden contradecir a la intuición matemática. El objetivo de la presente Memoria es el estudio de la lineabilidad de diversas familias de sucesiones de funciones con propiedades muy específicas. La Memoria se divide en 6 capítulos, donde los Capítulos 1, 2 y 3 se centran en introducir la notación básica y la terminología principal de la teoría de la Lineabilidad y de los modos de convergencia que usaremos a lo largo de esta Memoria. En el Capítulo 4 comenzamos el estudio del tamaño algebraico de dos familias de sucesiones de funciones con distintos modos de convergencia en el intervalo unidad cerrado [0, 1]: convergencia en medida, pero no puntual en casi todo y convergencia puntual pero no uniforme. En el Capítulo 5 centramos nuestra atención en el marco de las funciones integrables (Lebesgue). Comenzamos con sucesiones de funciones integrables y distintos modos de convergencia en comparación con la convergencia en norma L1, y finalizamos el capítulo con el tamaño algebraico de las familias de funciones no acotadas, continuas e integrables en [0, +∞), y las sucesiones de ellas. Finalmente, en el Capítulo 6 trabajamos en el ´ámbito de las series de funciones, obteniendo resultados positivos sobre el tamaño lineal y algebraico de la familia de sucesiones de funciones cuya serie asociada converge uniformemente pero no verifica las hipótesis del Criterio M de Weierstrass.