Estructuras de clausura y elementos cuasi-cerrados sobre retículos completos difusos

Resumen

Esta tesis doctoral se enmarca en el campo de la lógica difusa. El tema principal de la disertación es la extensión de las estructuras de clausura difusas y los elementos cuasi-cerrados a un retículo completo difuso arbitrario. Las nociones preliminares fueron introducidas en su mayoría por Belohlavek en su estudio del Análisis de Conceptos Formales Difuso. El primer capítulo muestra la definición de sistema de clausura en este marco. La definición extiende la propiedad conocida de ser un ínfimo-subsemirretículo, que caracteriza los sistemas de clausura en el marco clásico. Además, se demuestra que hay una relación biunívoca entre sistemas de clausura difusos y operadores de clausura. Los siguientes capítulos tratan las nociones de sistemas de clausura, ahora como conjuntos difusos, y las relaciones de clausura difusas. De nuevo, en la búsqueda de una definición apropiada el objetivo es la relación biunívoca entre estas estructuras. Sobre las aplicaciones que forman estas relaciones biunívocas trata el siguiente capítulo, en el que estas se consideran en sus dominios más generales. En este nuevo marco, los pares de aplicaciones considerados anteriormente forman conexiones de Galois difusas y las estructuras de clausura son puntos fijos. En algunos de los casos, por ejemplo cuando el retículo subyacente es un álgebra de Heyting, este resultado es una caracterización, es decir, todos los puntos fijos son estructuras de clausura y viceversa. Pero en general hay más puntos fijos que estructuras de clausura. A partir de eso, nos centramos en el estudio de los elementos cuasi-cerrados, fundamentales en el estudio de las bases de implicaciones entre atributos. Definimos elemento cuasi-cerrado en el marco difuso como todo elemento tal que la unión al conjunto de elementos cerrados forme un sistema de clausura. Considerando tanto los sistemas de clausura clásicos como difusos obtenemos dos caracterizaciones distintas.