Nuevas aportaciones al estudio de las álgebras de caminos de leavitt

Resumen

En este trabajo, luego de introducir en un primer capítulo algunos conceptos y resultados fundamentales sobre álgebras de caminos de Leavitt y C*-álgebras de grafo, estudiamos el centro de varios tipos de álgebras de caminos asociadas a un grafo dado. Empezamos con el estudio del centro de una K-álgebra de caminos KE asociada a un grafo E y K un cuerpo. Luego pasamos al estudio del centro de las álgebras de caminos de Cohn para finalmente abordar el centro de un álgebra de caminos de Leavitt; en este punto dejamos completamente determinado el centro de un álgebra de caminos de Leavitt prima. Además, introducimos una versión graduada del radical de Baer de un álgebra graduada, que resulta ser cero para cualquier álgebra de caminos de Leavitt. Este resultado nos permite probar que cualquier álgebra de caminos de Leavitt L_K(E) es el producto subdirecto de una familia de álgebras de caminos de Leavitt primas y llegar a la conclusión de que el centro de L_K(E) es una subálgebra de un producto de centros de álgebras de caminos de Leavitt primas; esto es, hemos encontrado cotas inferiores y superiores para el centro de un álgebra de caminos de Leavitt. En el tercer capítulo clasificamos álgebras de caminos de Leavitt L_K(E), restringiendo nuestro campo de estudio a las álgebras de caminos de Leavitt puramente infinitas simples asociadas a grafos finitos (de 4 vértices) que verifican la Condición (SING). Presentamos algunos resultados que nos dan información acerca de la parte libre de torsión del K_0 del álgebra de caminos de Leavitt de un grafo dado y otros que nos la proporcionan sobre la parte de torsión. Se describen, además, cada uno de los programas (codificados en Mathematica y que fueron comprobados con Magma) utilizados para el cálculo de los invariantes que hemos usado en la clasificación: K_0, la unidad de orden y el determinante Det(A_{E^{t}} - I). Se concluye con la clasificación mediante invariantes de las álgebras indicadas anteriormente. Finalmente, en el último capítulo introducimos una noción revisada de la acción gauge de un álgebra de caminos de Leavitt con el objeto de eliminar algunos inconvenientes que aparecen de manera natural, si trabajamos con la definición "oficial". La nueva conceptualización se basa en esquemas afines de grupo donde utilizaremos el enfoque de las representaciones de grupos diagonalizables y recoge la información completa de la graduación del álgebra como en el caso de la acción gauge de las C* -álgebras de grafo.