Equivalencias de morita y álgebras de caminos de Leavitt

Resumen

Este trabajo discurre sobre dos ejes temáticos. El primero de ellos es el estudio de ciertos aspectos de la teoría de Morita sobre equivalencia de categorías de módulos para anillos sin uno: probamos que si dos anillos idempotentes son Morita equivalentes, cada anillo local de uno de ellos, en un elemento regular von Neumann, es isomorfo a un córner de un anillo de matrices sobre el otro. El recíproco se prueba bajo ciertas condiciones: para anillos sigma-unitarios que tienen una sigma-unidad formada por elementos regulares von Neumann. Estos resultados nos permiten recuperar el teorema clásico de Morita que dice que dos anillos (unitarios) son Morita equivalentes si y sólo si uno es isomorfo a un córner de un anillo de matrices sobre el otro. Además, hemos generado una herramienta tipo test para determinar cuándo una propiedad para cierta clases de anillos es Morita invariante. El segundo hilo conductor de nuestro trabajo ha sido el de las álgebras de caminos de Leavitt. El principal resultado en este contexto ha sido determinar el centro de un álgebra de caminos de Leavitt de filas finitas. Una de las herramientas fundamentales ha sido la introducción de una noción muy destacada: la de ciclo extremo en un grafo, que es aquel ciclo con salidas tal que cada camino que sale del ciclo regresa nuevamente al mismo. En esta noción está concentrada la parte puramente infinita simple de un álgebra de caminos de Leavitt. Para la demostración del resultado indicado, en gran medida se tendrá en cuenta la caracterización que damos para determinar cuándo un ideal graduado de un álgebra de caminos de Leavitt es denso. Se probará que los elementos del centro de un álgebra de caminos de Leavitt de un grafo de filas finitas viven en el ideal generado por los conjuntos P_l, P_c y P_ec, donde P_l es el conjunto de los puntos lineales (aquéllos cuyo árbol no tiene ni bifurcaciones ni ciclos), P_c es el conjunto de los vértices en ciclos sin salidas y P_ec es el conjunto de los vértices en ciclos extremos. A lo largo del trabajo se presentan gran variedad de ejemplos de cada una de las nociones tratadas.