Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

Resumen

El resultado más importante en relación con la estructura extremal de los conjuntos convexos es debido a Krein y Milman quienes mostraron que todo subconjunto convexo y compacto de cualquier espacio localmente convexo separado es la envolvente convexo-cerrada del conjunto de sus puntos extremos. La gran variedad de aplicaciones del Teorema de Krein-Milman justifica ampliamente el interés de la obtención de teoremas de este tipo para subconjuntos convexos no necesariamente compactos de un espacio normado. La bola unidad es sin duda el más representativo de tales conjuntos y sobre ella concentraremos nuestra atención en esta tesis. El primer paso suele ser la descripción de los puntos extremos para, a continuación, determinar si generan la bola mediante envolventes convexas, secuencialmente convexas o convexo-cerradas. Concretamente en el primer capítulo consideramos el espacio C(T,X) de las funciones continuas y acotadas de T en un espacio normado X no trivial del que, salvo mención en contra, sólo se empleará su estructura real. Si X es estrictamente convexo y de dimensión dos, caracterizamos los espacios compactos de Hausdorff T para los que cada elemento de la bola unidad de C(T,X), puede expresarse como media de dos puntos extremos de la bola unidad de C(T,X). Además, en el caso general en el que T sea un espacio topológico arbitrario y X un espacio normado estrictamente convexo de dimensión mayor o igual a dos, precisamos condiciones suficientes para que se verifique la citada propiedad. El grueso de la tesis se centra en el estudio de la estructura extremal de los espacios de funciones uniformemente continuas vectorialmente valuadas. Obtenemos un teorema de tipo Russo-Dye para U(M,X), el espacio de las funciones uniformemente continuas y acotadas de M en X, siendo M un espacio métrico arbitrario y X un espacio normado uniformemente convexo de dimensión mayor o igual que dos (finita o infinita). La base para la obtención de este teorema está fundamentalmente en dos resultados: una desigualdad probada en el segundo capítulo válida en cualquier espacio normado de dimensión dos que hemos llamado desigualdad de la semicircunferencia y las aplicaciones uniformemente continuas entre esferas sin puntos fijos ni antípodas aproximados tratadas en el capítulo tres. Además, en el caso particular en el que X sea infinito-dimensional, analizamos la interacción entre el estudio extremal de los espacios U(M,X), con la teoría de retracciones de la bola sobre la esfera unidad de X. Finalmente, en el último capítulo y en consonancia con el planteamiento de la tesis, obtenemos teoremas de tipo Krein-Milman en espacios de funciones continuas con la norma del diámetro.