Algunas cuestiones sobre órbitas de operadores

Resumen

El caos lineal estudia cuándo las órbitas de operadores lineales son densas. En esta memoria se estudia cuando un subconjunto de una órbita densa, sigue permaneciendo denso. Relacionaremos este estudio con resultados de superciclicidad positiva. Desde nuestro conocimiento de este tipo de órbitas, daremos respuesta a varios problemas propuestos por Rezaei en el contexto de operadores estrictamente cíclicos. Estudiaremos el álgebra generada por un operador y la identidad. Consideraremos la órbita de un vector bajo la acción de este álgebra, y estudiaremos dos aspectos: densidad y compacidad fuerte. Ambas nociones están relacionadas con el problema del subespacio invariante. Mostraremos una condición suficiente, sobre el espectro local, que garantiza que un operador es fuertemente compacto y aplicaremos este resultado general a operadores desplazamientos con pesos biláteros. Completaremos el estudio, sobre la estructura de vectores cíclicos de un operador, iniciado por D. Herrero. Demostraremos que si un operador, satisfaciendo el criterio de ciclicidad, posee un subespacio cerrado de dimensión infinita, compuesto a excepción del cero, de vectores cíclicos si y solo si el espectro puntual de su adjunto es vacío. Mostraremos ejemplos de operadores que no satisfacen el criterio de ciclicidad y que sin embargo poseen un subespacio cerrado de dimensión infinita de vectores cíclicos. Estudiaremos las órbitas de una familia de operadores que no conmutan con el operador de diferenciación, definidos en el espacio de funciones enteras e introducidos por R. Aron y D. Markose. Caracterizaremos, por completo, cuando estos operadores son hipercíclicos y cuando poseen un subespacio cerrado de dimensión infinita compuesto, a excepción del cero, de vectores hipercíclicos. Por último, se obtendrán resultados que describen la tasa de crecimiento permitida para funciones enteras que son hipercíclicas para este tipo de operadores.