Análisis epistemológico de la variable aleatoria y comprensión de objetos matemáticos relacionados por estudiantes universitarios

Resumen

1. Introducción o motivación de la tesis Actualmente existe un desfase en las instituciones educativas, con respecto a la demanda que las sociedades exigen del uso, cada vez más intenso y extenso, de la estadística a sus ciudadanos y profesionistas (Gal, 2002). Para disminuirlo, se ha hecho necesario abordar la enseñanza de la probabilidad y la estadística desde una perspectiva científica, para trazar líneas que permitan ocuparse de este tema en nuestras instituciones educativas (Borovcnik, Bentz y Kapadia, 1991 Shaughnessy, 1992;, 2007; Jones, Langrall y Mooney, 2007). Uno de los primeros en explotar esta perspectiva fue Heitele (1975), quien propuso una lista de diez ideas fundamentales en la enseñanza de la estadística basándose en un enfoque epistemológico-pragmático. Para él, una idea fundamental proporciona modelos explicativos en cada etapa del desarrollo del concepto a lo largo de la educación del individuo. Entre esas diez ideas fundamentales que los estudiantes desarrollan desde niveles educativos básicos y que culminan en niveles superiores, el autor incluyó la variable aleatoria. Sin embargo, es una idea que no ha recibido la atención que amerita y en la que se centra esta Tesis. La pertinencia del desarrollo de una investigación alrededor de la didáctica de la variable aleatoria también se basa en otras razones, como las dificultades en su aprendizaje y las características particulares del desarrollo del concepto en la probabilidad y la estadística como ciencias (Miller, 1998). Por un lado, la variable aleatoria constituye un pilar para el desarrollo de las habilidades de modelación en los estudiantes, puesto que es una herramienta indispensable para vincular la realidad con la herramienta matemática, pero también es básica para el desarrollo de la teoría sobre las distribuciones de probabilidad, el teorema del límite central y el estudio de la inferencia. En la variable aleatoria y distribución convergen muchos conceptos matemáticos, estadísticos, y probabilísticos provenientes de los niveles educativos básico y medio superior, como los de variable, centro, dispersión, forma o probabilidad, a la vez que está relacionada con conceptos abstractos propios de niveles superiores, entre otros los de función y función inversa (Reading y Canada, 2011). 2. Desarrollo teórico Sustentamos la investigación en la teoría de situaciones didácticas (Brousseau, 1986, 1997) complementada en algunos puntos con el análisis del sistema de prácticas matemáticas, a través de la perspectiva semiótico-ontológica de la cognición e instrucción matemática que sostienen Godino (2002) y Godino, Batanero y Font (2007). Los elementos teóricos seleccionados conducen, desde el punto de vista metodológico, a la Ingeniería Didáctica (Artigue, 1995a y 1995b) y a algunas metodologías auxiliares que le sirven de apoyo. En esta memoria reportaremos el trabajo realizado en cuatro estudios diferentes alrededor de la variable aleatoria desde la perspectiva de la ingeniería didáctica y también haciendo uso de algunos elementos del enfoque ontosemiótico, para profundizar sobre las vertientes epistemológicas y cognitivas de la enseñanza y su aprendizaje. Presentado el marco teórico y los antecedentes, el trabajo se ha organizado en cuatro estudios complementarios: ¿En el Estudio 1 (Análisis Epistemológico desde la Disciplina) se realizó un análisis matemático detallado del objeto «variable aleatoria» y sus relaciones con otros objetos matemáticos (función de distribución y densidad, parámetros, medidas de tendencia central y dispersión, variable estadística, probabilidad, espacio probabilístico, función y función medible, componentes de una función). Se analizan con detalle las diferentes funciones que giran en torno a la variable aleatoria, comenzando por la misma variable, como función medible en un espacio probabilístico y se destaca la importancia de la función de distribución (función compuesta de la inversa de la variable aleatoria y la probabilidad) que permite introducir el análisis matemático en el trabajo con las variables aleatorias, y en consecuencia, con la estadística. También se resalta la naturaleza dual de la variable aleatoria, puesto que su definición amplía las posibilidades de matematización del espacio muestral o del resultado del experimento aleatorio, pero también es el vínculo con el contexto. ¿El Estudio 2 resume el desarrollo histórico de la idea de variable aleatoria, desde múltiples aplicaciones en todas las áreas de la actividad humana, y que se puede clasificar en dos grandes corrientes de pensamiento surgidos a partir de los análisis probabilísticos y del análisis de datos (estudios estadísticos), que no se suceden sino que interactúan en diversos momentos. Se describen etapas en este desarrollo, señalando los puntos de avance para llegar al concepto actual. Este estudio también permite proponer algunas posibles acciones didácticas e identificar algunas dificultades ligadas a su desarrollo que podrían presentarse en los estudiantes. ¿En el Estudio 3 se lleva a cabo una exploración cognitiva en profundidad de las concepciones y comprensión de una pareja de estudiantes sobre la variable aleatoria cuando se enfrentan a la resolución de un problema que requiere el uso del objeto «variable aleatoria». La metodología empleada es una entrevista clínica guiada. Se trata de conocer cómo dos estudiantes resuelven «en voz alta» y en consenso un problema propuesto y de describir las dificultades que tienen en este proceso, y la forma en que las resuelven, con ayuda del profesor. ¿El Estudio 4 trata de complementar el anterior en un doble sentido. En primer lugar amplía el tamaño de la muestra (111 estudiantes), de modo que los resultados puedan tener mayor generalidad. Por otro, se emplea una situación en la que los estudiantes han de trabajar con tres pares de variables estadísticas asociadas a las variables aleatorias subyacentes. Además se añade una dificultad más, ya que el estudiante se enfrenta con la necesidad de organizar los datos proporcionados, de modo que, en teoría, el primer paso en el análisis de la situación es la construcción de la distribución por parte de los estudiantes. De este modo accederemos a la comprensión que manifiestan sobre la variable estadística y la relación que establecen entre variable estadística y variable aleatoria, así como a las prácticas que realizan al resolver la actividad propuesta. 3. Conclusiones y aportaciones El Estudio 1 nos permite analizar con detalle los componentes que habría que incluir en la enseñanza de la variable aleatoria y proporciona la base para la construcción de futuras ingenierías didácticas sobre el tema. Nos sirve para re-interpretar la modelación estocástica dentro del marco descrito por Wild y Pfannkuch (1999), haciendo uso de la propuesta de Heitele (1975), para definir una modelación estratificada. También se contempla la relación entre variable estadística y aleatoria desde esta perspectiva (Ríos, 1967) observando un doble proceso de modelación: desde los datos a la variable estadística; y desde este a la variable aleatoria. La descripción de algunos de los significados que ha recibido la probabilidad a lo largo de la historia, de su campo de aplicación y problemática filosófica en la asignación de probabilidades (Batanero, 2005) nos ha llevado a proponer diferentes significados de la variable aleatoria dependiendo de esta asignación. En el Estudio 2 se identifican ocho etapas diferenciadas (algunas de las cuáles se solapan en el tiempo) en las que se producen avances en la construcción del concepto, tal como hoy lo consideramos. Dichas etapas pueden considerarse desde un punto de vista didáctico en la elaboración de ingenierías didácticas. Asimismo hemos proporcionado información sobre obstáculos epistemológicos, que podrían reproducirse como obstáculos cognitivos en el aprendizaje de los estudiantes. El análisis de las entrevistas (Estudio 3) se organizó alrededor de cuatro puntos principales: (a) Percepción de la aleatoriedad en la situación y en la solución del problema; (b) Comprensión de la probabilidad definida en el espacio muestral y de la distribución de probabilidad: (c) La variable aleatoria en la solución del problema, su carácter de función en el espacio muestral y la relación con la distribución de probabilidad y (d) los procesos de modelación vinculados a la solución del problema. Para cada uno de ellos se proporciona información detallada de los razonamientos de las estudiantes. El análisis de los informes escritos elaborados por los estudiantes en un proyecto abierto (Estudio 4) se organizó alrededor de los puntos siguientes: ¿Comprensión de la aleatoriedad y su percepción en el experimento, desde un punto de vista global (mediante el análisis los datos de las secuencias simuladas) e individualmente, mediante las concepciones de algunos estudiantes explícitas en sus argumentos. ¿Comprensión de la variable estadística y su distribución: Se ha estudiado la forma en que los estudiantes trabajan con las variables estadísticas, sus distribuciones y momentos. ¿Percepción y referencia a las variables aleatorias y relación con la variable estadística. Se ha analizado los argumentos en que los estudiantes ligan las variables a los resultados de un experimento aleatorio o hacen referencia a probabilidades de valores de la variable o sus parámetros. ¿Ciclo de modelación y razonamiento estadístico. Se ha analizado la forma en que los estudiantes siguen cada uno de los diferentes pasos en el ciclo de modelación de acuerdo con Dantal (1999) y el razonamiento estadístico según el modelo de Wild y Pfannkuch (1999), así como con el modelo por estratos establecido en el análisis disciplinar. Todos estos resultados proporcionan información valiosa en un terreno en que la investigación previa es casi inexistente y se han recogido en una serie de publicaciones que se describen a lo largo de la memoria.