Monoides de intervalos asociados a la teoría k para algebras

Resumen

Estudiamos monoides de intervalos de monoides simples, no atómicos y estrictamente perforados, Nos centramos en la representación funcional del monoide de intervalos dada por Goodearl y Perera para grupos y monoides respectivamente. Ambos demuestran que la represetación es un isomorfismo siempre que el grupo o el monoide sea estrictamente no perforado. Por tanto, nos planteamos el estudio de dicho morfismo en el caso estrictamente perforado. Caracterizamos la inyectividad de dicho morfismo y demostramos que depende de las propiedades de perforación del monoide en el caso numerable. Para el caso no numerable, demostramos que también falla la inyectividad para grupos simples de Riesz y estrictamente perforados, siguiendo otra técnica para la demostración. Esto nos sugiere la posibilidad de que exista un contraejemplo a la Conjetura de Separatividad: todo anillo de intercambio es separativo (Goodearl). Con objeto de encontrar un contraejemplo a dicha conjetura, planteamos la construcción de grupos simples con determinadas propiedades, siguiendo para ello los ejemplos construidos por Prdo y Wehrung. Para lograrlo, comenzamos extendiendo un resultado de Pardo, demostrando que podemos inmergir cualquier grupo ordenado, simple y de rango uno, en un grupo simple de Riesz y de rango uno, siempre que el grupo no se isomorfo al grupo de los racionales. Este resultado es base para la posterior construcción de ejemplos de grupos simples de Riesz y de rango uno con intervalos que cumplen determinadas propiedades. Así, construimos un grupo irdenado simpli de Riesz y con rango uno, que contiene una sucesión decreciente de intervalos tales que un número determinado de copias de cada uno de ellos es todo el cono positivo del grupo, pero un número inferior de copias, es diferente de çeste. Mejoramos dicho ejemplo, construyendo además un intervalo no acotado tal que cualquier número de copias de dicho intervalo es diferencte del cono positivo del grupo. Por último, indicamos las aplicaciones de los resultados anteriores al contexto de anillos de multiplicadores para C*-álgebras de rango real cero y anillos regulares de von Neumann. Describimos las propiedades que cumplen los idempotentes y proyecciones asociados a los intervalos construidos anteriormente. También, basándonos en las construcciones de C*-álgebras con K0 de un tipo determinado (desarrollas por Villadsen, Rordam, Elliott y Toms), nos planteamos la posibilidad de que existan anillos regulares o C*- álgebras cuyos grupos K0 sean como los construidos, y exponemos las propiedades que cumplirán esos anillos en caso de que existan.