Algebras y sistemas triples de Lie con descomposición de Cartan. Condiciones de regularidad en sistemas triples de lie

Resumen

EN EL PRIMER CAPITULO DE ESTA TESIS SE ESTUDIAN LAS ALGEBRAS DE LIE DE DIMENSION INFINITA Y QUE TIENEN DESCOMPOSICION DE CARTAN, PARA ELLO UTILIZAMOS TECNICAS DE LIMITES DIRECTOS DE SISTEMAS DIRECTOS DE ALGEBRAS DE LIE, DEFINICION DE SUBALGEBRA DE CARTAN Y DESCOMPOSICION DE CARTAN EN DIMENSIÓN ARBITRARIA Y TECNICAS DE CONEXIÓN DE RAICES QUE NOS PERMITEN AFIRMAR QUE UN ALGEBRA DE LIE SIMPLE DE DIMENSION ARBITRARIA Y CON DESCOMPOSICION DE CARTAN TIENE TODAS SUS RAICES CONECTADAS. PARA FINALIZAR SE DESCRIBEN LAS ALGEBRAS DE LIE COMPLEJAS, SIMPLES, DE DIMENSION INFINITA Y QUE TIENE DESCOMPOSICION DE CARTAN. UN ALGEBRA DE LIE COMPLEJA, SIMPLE DE DIMENSION ARBITRARIA Y QUE TIENE DESCOMPOSICION DE CARTAN SE PUEDE EXPRESAR COMO EL LIMITE DIRECTO DE UN SISTEMA DIRECTO DE ALGEBRAS DE LIE SIMPLES DE DIMENSION FINITA Y QUE SEAN TODAS DEL MISMO TIPO. APLICANDO PROPIEDADES DE LOS LIMITES DIRECTOS OBTENEMOS LA DESCRIPCIÓN DE ESTA FAMILIA. EL SEGUNDO CAPITULO LO DEDICAMOS AL ESTUDIO DE LOS SISTEMAS TRIPLES DE LIE. TODO SISTEMA TRIPLE DE LIE PUEDE SER SUMERGIDO EN UN ALGEBRA DE LIE, LLAMADA ENVOLVENTE ESTANDAR DEL SISTEMA TRIPLE DE LIE. DEFINIMOS LOS SISTEMAS TRIPLES DE LIE SPLIT Y ESTUDIAMOS LAS RAICES DE ESTOS SISTEMAS TRIPLES ESPECIALEMENTE LAS RAICES ENTERAS, Y DE ESTAS LAS ABELIANAS ENTERAS Y FUERTEMENTE ENTERAS. INTRODUCIMOS EL CONCEPTO DE SISTEMAS TRIPLE DE LIE LOCALMENTE FINITO Y PROBAMOS QUE UN SISTEMA TRIPLE DE LIE ES LOCALMENTE FINITOS Y QUE TIENE TODAS SUS RAICES ABELIANAS ENTERAS O FUERTEMENTE ENTERAS. EN EL TERCER CAPITULO, TAMBIEN DEDICADO A LOS SISTEMAS TRIPLES DE LIE, ESTUDIAMOS LAS CONDICIONES DE REGULARIDAD DE ESTOS SISTEMAS. DEFINIMOS LOS SISTEMAS TRIPLES DE LIE PRIMOS Y SEMIPRIMOS, Y PROBAMOS QUE UN SISTEMA TRIPLE DE LIE ES PRIMO (RESPECTIVAMENTE SEMIPRIMO, CON ANULADOR CERO) SI Y SÓLO SI SU ENVOLVENTE ESTANDAR ES PRIMA EN SENTIDO DOS GRADUADO (RESPECTIVAMENTE SEMIPRIMA EN SENTIDO DOS GRADUADO, CON ANULADOR CERO). FINALMENTE PROBAMOS QUE LA PRIMITUD DE UN SISTEMA TRIPLE DE LIE SE HEREDA POR IDEALES SEMIPRIMOS. EL CUARTO CAPITULO ESTÁ DEDICADO A ESTOS SISTEMAS TRIPLES SON UNA GENERALIZACIÓN DE LOS SISTEMAS TRIPLES DE LIE, DE LOS SISTEMAS TRIPLES DE HJORDAN Y DE LOS SISTEMAS TRIPLES DE DERIVACIONES INTERIORES, ENTRE OTROS. DEFINIMOS LOS CONCEPTOS DE SISTEMAS TRIPLE DE DERIVACIONES INTERIORES TORCIDAD PRIMO Y SEMIPRIMO. ESTUDIAMOS ESTOS CONCEPTOS MEDIANTE SU ALGEBRA ENVOLVENTE ESTANDAR OBTENIENDO QUE: UN SISTEMA TRIPLE DE DERIVACIONES INTERIORES TORCIDAS ES PRIMO ( RESPECTIVAMENTE SEMIPRIMA EN SENTIDO DOS GRADUADO, CON ANULADOR CERO). ESTE RESULTADO GENERALIZA A SISTEMAS TRIPLES DE DERIVACIONES INTERIORES TORCIDAS EL RESULTADO OBTENIDO PARA SISTEMAS TRIPLES DE LIE.