Teoría geométrica de la separabilidad y la reflexividad

Resumen

En esta memoria hemos pretendido abarcar las siquientes ramas de la Geometría de Espacios de Banach: las L-estructuras, la separabilidad y la reflexividad, En relación a las L-estructuras, hemos estudiado los vectores L2-sumandos caracterizándolos geométricamente. Además, hemos probado que, en cualquier espacio de Banach real, el conjunto de los vectores L2-sumando es un subespacio L2-sumando. Utilizando técnicas de renormaciones basadas en vectores L2-sumando, hemos caracterizado cuándo un espacio de Banach real posee un subespacio hilbertizable complementado de dimensión infinita. Por último, hemos estudiado las propiedades geométricas de los vectores de reflexión isométrica aportando una nueva versión de un conocido resultado que afirma que un espacio de Banach real es un espacio de Hilbert si y solamente si el conjunto de los vectores de reflexión isométrica de norma 1 tiene interior no vacío con respecto a la esfera unidad. En relación a la separabilidad, hemos aportado dos caracterizaciones para que un espacio de Banach admita un cociente separable de dimensión infinita. Por otro lado, hemos atacado la famosa conjetura de rotación de Banach-Mazur probando que todo espacio de Banach real transitivo y suave es redondo si posee estructura normal. También hemos estudiado el tamaño del conjunto de los puntos redondos de la bola unidad en espacios de Bancha separables, y hemos proporcionado un camino para atacar el problema consistente en probar que todo espacio de Bancha transitivo y separable es redondo. En relación a la reflexividad, hemos versionado un resultado del año 1976 de Blatter en el que caracterizaba la reflexividad en la clase de los espacios normados. Asimismo, tratamos de caracterizar, en la clase de los espacios normados, la propiedad de que todos los funcionales alcancen la norma, mediante traslaciones que aseguran la existencia de elementos de norma mínima no triviales. Por último, estudiamos las relaciones existentes entre la reflexividad y diversas propiedades geométricas tales como la propiedad de Efimov-Stechkin, caracterizándola por medio de la casi-redondez y de las caras expuestas. También caracterizamos las caras expuestas, los puntos expuestos y los puntos fuertemente expuestos mediante renormaciones.