Estructuras algebraicas con bases multiplicativas

Resumen

Consideremos un álgebra arbitraria sobre la que no suponemos ningún tipo de identidad en su producto (asociatividad, Lie, etc.). Una base del álgebra se dice multiplicativa si el producto de dos elementos de la base da como resultado otro de la base multiplicado por un escalar. Mostraremos que si la álgebra admite una base multiplicativa entonces descompone como la suma directa de ciertos ideales admitiendo cada uno de ellos una base multiplicativa. Además, caracterizaremos la minimalidad del álgebra en términos de la base multiplicativa y mostraremos que bajo ciertas condiciones, la anterior suma directa es a través de la familia de los ideales minimales que admiten una base multiplicativa. Mostraremos que los resultados anteriores pueden extenderse al marco de sistemas triples, n-álgebras y módulos sobre espacios vectoriales arbitrarios. Además, los resultados obtenidos para módulos sobre espacios vectoriales, pueden ser aplicados a módulos sobre álgebras y pares algebraicos. Finalmente, consideraremos el álgebra asociativa de matrices indexadas por un conjunto infinito y con cuerpo base de característica distinta de dos. Para cualquier par de aplicaciones biyectivas en el conjunto de índices, introduciremos un subespacio vectorial del álgebra de matrices. Bajo ciertas condiciones, podemos dotar a estos subespacios de una estructura de álgebra (no asociativa) con un cierto producto bilineal, obteniendo una amplia clase de álgebras no asociativas. Mostraremos las álgebras introducidas son simples.