Los números reales en el estructuralismo bourbakistaUn análisis histórico-epistemológico con fines educativos

Resumen

Los números reales a pesar de tener un papel protagónico en la formación matemática universitaria, generalmente se presentan como un producto acabado al cual se tiene acceso a través de acercamientos formales o intuitivos, agenciados a partir de lo axiomático. Este tipo de presentaciones limitan la posibilidad de comprender en un sentido amplio la propiedad de completitud que los caracteriza. En este trabajo se parte de la hipótesis que un estudio histórico-epistemológico sobre la construcción de los reales, en el marco de una propuesta estructuralista como la de Bourbaki, contribuye no sólo a revelar el grado de complejidad que se sintetiza detrás de las presentaciones axiomáticas sino que ofrece elementos de orden pedagógico que aportan al campo de la educación matemática. La tesis inicia con un estudio sobre la teoría de conjuntos, como base angular de la propuesta estructuralista de Bourbaki. Éste comporta una revisión del sistema lógico formal en el cual se inscribe la teoría de conjuntos y un análisis detallado de su sistema axiomático. Sobre esta base conceptual se realiza un estudio de la noción de estructura y de la propuesta teórica que Bourbaki desarrolla alrededor de ella. Una vez se han delineado los aspectos esenciales de dicha propuesta, se estudia el teorema de completitud que emplea Bourbaki para completar un espacio uniforme cualquiera, lo que conduce a la construcción de los números reales. En el esquema global de indagación que guía y articula este trabajo se priorizan tres asuntos fundamentales: i) esclarecer las bases conceptuales de la propuesta bourbakista a partir de un estudio acerca del sistema axiomático para la teoría de conjuntos, ii) reconocer el papel unificador de las estructuras en el proyecto de Bourbaki y visualizar los alcances conceptuales de su propuesta estructuralista; e iii) identificar y estimar a través de un estudio sobre la construcción de los reales en el marco de la propuesta de Bourbaki, aspectos de orden epistemológico que puedan constituirse en claves para una mejor apropiación de los reales a nivel de la educación universitaria. Con estos objetivos como telón de fondo, la tesis se estructura de la siguiente manera. En el primer capítulo se presenta una breve historia del sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel, con el propósito de comprender en un sentido más amplio, las bases sobre las cuales se erige el sistema axiomático de Bourbaki para la teoría de conjuntos y sus limitaciones como marco fundacional. El segundo capítulo es una historia del nacimiento de Bourbaki alrededor de la teoría de conjuntos. Se presentan las primeras discusiones del Grupo sobre el lugar y el papel que debían tener los conjuntos en el “nuevo tratado de análisis”. El tercer capítulo está dedicado precisamente al estudio del sistema lógico formal en el cual se inscribe la propuesta de Bourbaki y al análisis del sistema axiomático para la teoría de conjuntos. El cuarto capítulo se consagra de la noción de estructura y se muestra cómo se insertan en ella los diversos tipos de estructuras. En el quinto capítulo se realiza una adaptación del teorema de completitud al caso particular de los racionales como espacio uniforme y se obtiene una construcción de los reales “à la Bourbaki”. Entre las conclusiones se destacan las siguientes: en primer lugar, se demostró que el sistema propuesto por Bourbaki para la teoría de conjuntos es equivalente al de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección pero sin el de fundamentación. Bourbaki llegó a esta propuesta después de casi una década de trabajo y de discusiones al interior del Grupo. Se publicó por primera vez en 1954, época en que la teoría de categorías empezaba a emerger y con ella, las dudas sobre su sistema como marco fundacional para las matemáticas. Bourbaki estudió la propuesta de Grothendieck de adicionar el axioma de los universos al sistema axiomático, con el propósito de darle cabida a las categorías sin abandonar la teoría de conjuntos, pero finalmente se mantuvo en su propuesta original. En relación con la noción estructura, se muestra cómo se insertan en ella los diversos tipos de estructuras que sostienen el edificio matemático de Bourbaki; y se exhiben los conceptos que permiten la construcción de nuevas estructuras. Con la incorporación de las estructuras iniciales y finales, Bourbaki garantiza que ciertas propiedades topológicas fundamentales se soporten desde su marco estructural y desde ahí alcancen el mayor nivel de generalidad. Las aplicaciones universales, por su parte, constituyen un método ontológico de construcción matemática. A través de ellas se define un objeto desde un punto de vista estructural, sin entrar en las propiedades internas que verifican los elementos de dicho objeto. Finalmente, en la construcción de los números reales “à la Bourbaki”, se identifican algunos elementos de orden epistemológico y pedagógico, que merecen ser considerados en una reflexión educativa: i) La uniformidad, al ser una condición lógica y epistemológica para la completitud, evidencia de manera prominente el carácter topológico de esta propiedad; ii) La generalización de la noción de sucesión a través de filtros, ofrece condiciones para una mejor aproximación a la noción de convergencia; iii) La noción de filtro minimal de Cauchy, evita el uso técnico de las clases de equivalencia, lo cual simplifica la demostración; iv) La generalidad de la construcción favorece la identificación de ciertos conceptos que se mimetizan en las propiedades de los espacios particulares; v) El entrecruce de las diversas estructuras sobre el cual se erigen los reales, ofrece una visión de conjunto del conocimiento matemático, muy importante hoy en día en los procesos de formación matemática, vi) En términos categóricos, los reales de Bourbaki se pueden ver como el objeto inicial de la categoría de los espacios uniformes completos que contienen a los racionales, lo que se constituye en un punto de partida de nuevas posibilidades teóricas. Las consideraciones anteriores, además de verificar la hipótesis de trabajo, permiten concluir que la construcción de los reales “à la Bourbaki”, ofrece condiciones epistemológicas y pedagógicas válidas para considerarla como una alternativa moderna en la enseñanza del Análisis, frente a las construcciones clásicas de Cantor y Dedekind.