Positividad en la teoría de operadores supercíclicos

Resumen

Este trabajo, se enmarca dentro del estudio del fenómeno conocido en Análisis como universalidad, el cual ha conocido un importante auge en las dos últimas décadas, tanto por el número de resultados avanzados obtenidos, como por el número de autores implicados, El fenómeno de universalidad que históricamente se puede afirmar que es casi centenario, está motivado por un caso de aproximación. Se trata de aproximar todos los elementos de un conjunto, a través de cierto subconjunto generado a partir de un apropiado elemento, que recibe el nombre de elemento universal. De una forma más precisa: Si X,Y son espacios topológicos, y T_i de X en Y es una familia de aplicaciones, decimos que un elemento x en X es universal en Y , para la familia {T_i}, si cada elemento y de Y se puede aproximar por algún T_ix, o dicho de otra forma si el conjunto {T_ix : i en I} es denso en Y . A lo largo de este trabajo estudiamos distintos casos particulares de universalidad. De una manera global consideraremos espacios topoló- gicos lineales X, como los conjuntos que son objeto de aproximación. Y como familias de aplicaciones consideraremos aquellas generadas por un operador via iteración, es decir T_n = T^n, donde T de X en X es un operador acotado. Se dirá que un elemento x de X es universal si el conjunto {T^nx : n en N} es denso en X. En este caso particular el elemento universal x recibe el nombre de hipercíclico para el operador T, y éste recibe el nombre de operador hipercíclico. Por otra parte el conjunto {T^nx : n en N} = Orb(T,x) se denomina órbita de x bajo el operador T. De este modo podemos decir que x es hipercíclico para el operador T, si la órbita Orb(T,x) es densa en X. El primer ejemplo de operador hipercíclico se descubre en 1969 por S. Rolewicz ([64]). Desde entonces la actividad científica en relación con este fenómeno ha sido muy intensa. Hasta el propio Rolewicz ha mostrado su sorpresa ante este desarrollo, nunca pensó que su trabajo de 1969 fuese a ser pionero de lo que constituye actualmente toda una Teoría. Tanto es así que ha llevado a la American Mathematical Society introducir 47A16, como código específico para clasificar los artículos que tratan sobre operadores hipercíclicos. Por otra parte, se han publicado algunos libros que desarrollan los aspectos generales de la Teoría. Por ejemplo, el libro reciente de F. Bayart y E. Matheron [4], en el que incluso se citan algunos resultados que se muestran en esta memoria. Son conocidas nociones más débiles que la Hiperciclicidad, y que fueron descubiertas incluso antes. Así pues, si sólo pedimos que el subes- pacio lineal generado por las combinaciones lineales finitas, de los elementos de la órbita Orb(T,x) sea densa en X, entonces el vector x decimos que es un vector cíclico para el operador T , donde T adquiere desde entonces el nombre de cíclico. Hay que destacar que el fenómeno de universalidad, adquiere más importancia por su relación con el problema del subespacio invariante. Este problema consiste en determinar si dado un operador actuando sobre un espacio, posee algún subespacio invariante (o al menos un subconjunto) no trivial. De esta manera, si x es vector no cíclico para cierto operador T, existe un subespacio cerrado que contiene a x, y que es invariante para T. De igual forma si x es un elemento que no es hipercíclico para cierto operador T , el cierre topológico de la órbita Orb(T, x) supone un conjunto cerrado e invariante para T . Dada la importancia del problema del subespacio invariante, se ha estudiado a fondo el margen que existe entre ámbos conceptos de Hiperciclicidad y Ciclicidad y se ha descubierto una gran estructura conceptual. De hecho, ya en los años sesenta se estudia el concepto de Superciclicidad, que está a medio camino entre los conceptos ante- riores. Un vector x de X se dice que es supercíclico para un operador T de X en X, si la órbita proyectiva {¿Txn : ¿ en C, n en N} es densa en el espacio X, de igual forma T recibe el nombre de operador super- cíclico. Más recientemente, si la órbita, o la órbita proyectiva de un vector generan un subconjunto denso en la topología débil, se habla entonces de Hiperciclicidad o Superciclicidad débil. Este trabajo está dedicado al estudio de la Superciclicidad, funda- mentalmente desde dos puntos de vista. De una parte nos centramos, dentro del conjunto de operadores supercíclicos, en aquellos que de- nominamos supercíclicos positivos, estos son aquellos para los que es suficiente la órbita proyectiva positiva de algún vector (es decir {rTnx : r de R_+, n de N}) para obtener la densidad en el espacio. Es- tos operadores aparecen caracterizados por primera vez en un artículo de F. León y V. Müller. En primera instancia buscamos extender los resultados de F. León y V. Müller para Superciclicidad débil. Finalmente llegamos a un re- sultado mucho más general, en el que estudiamos qué condiciones garantizan la superciclicidad positiva, en espacios vectoriales topoló- gicos. De este estudio se derivan consecuencias para operadores en espacios de Banach con la topología débil. Probar que un operador no es supercíclico resulta un problema de enorme dificultad, mucho más sin ninguna duda que probar que es supercíclico. El resultado de Superciclicidad positiva permite probar con cierta facilidad la no Superciclicidad de un operador. En este sentido va el segundo punto de vista de esta memoria. Se trata de estudiar las diversas propiedades de las órbitas (entre las que se in- cluye el estudio de la Superciclicidad y la Superciclicidad débil) para operadores clásicos (operador de Cesàro, operador de Volterra, etc) definidos en espacios clásicos de funciones. Ahora pasamos a indicar la estructura de este trabajo. Está dividido en seis capítulos. Se introduce un breve capítulo de Preliminares. En dicho primer capítulo, introducimos la notación y algunas cuestiones que serán utilizadas más adelante. En el Capítulo 2, estudiamos ciertas cuestiones relacionadas con el problema del subespacio invariante (que como sabemos permanece abierto en el contexto de los espacios de Hilbert, y para operadores positivos en retículos de Banach). Concretamente, los resultados de este capítulo, están relacionados con un resultado de Chevreau, Brown y Pearcy, el que asegura que si T es una contracción en un espacio de Hilbert cuyo espectro contiene a la circunferencia unidad, entonces existe un subespacio invariante (no trivial) para T. Si se rabaja la condición espectral, concretamente si el espectro corta a la circunferencia unidad entonces V. Müller [56] prueba que T posee un vector (no nulo) no supercíclico. Para obtener dicho resultado es necesario un resultado sobre Superciclicidad positiva en espacios de Banach de F. León Saavedra y V. Müller (véase [44]) . El objetivo de este capítulo es probar que una contracción con radio espectral uno, posee un vector no supercíclico débil (no trivial), esto es, un paso más hasta obtener un vector no cíclico. Para ello, es necesaria una extensión del resultado de F. León y V. Müller para operadores en espacios de Banach con la topología débil. Finalmente, como hemos anunciado antes se obtiene un resultado sobre Superciclicidad positiva general, en espacios vectoriales topológicos. En los Capítulos 3 y 4, estudiamos las órbitas de dos operadores clási- cos de tipo integral, el operador de Volterra y el operador de Cesàro. Es sorprendente como a pesar de ser dos operadores clásicos, amplia- mente estudiados, sin embargo permanecen todavía cuestiones abier- tas. Entre los resultados que mostraremos, veremos en el Capítulo 4 que el operador de Volterra V , no es supercíclico débil en los espa- cios Lp[0,1], utilizamos para ello los resultados del Capítulo 2. En el Capítulo 3, destacamos el resultado que prueba la hiperciclicidad del operador de Cesàro en Lp[0, 1], (1 < p < ¿). Los resultados del Ca- pítulo 3 son en cierta medida sorprendentes porque hasta el momento ningún resultado positivo sobre Hiperciclicidad se había obtenido pa- ra operadores integrales. El operador de Cesàro puede verse como un operador tipo integral. En general los operadores de tipo inte- gral no suelen tener buen comportamiento hipercíclico, en cambio, los operadores de tipo diferencial suelen tener muy buenas propiedades hipercíclicas. Además, dada la uniformidad que imprime el operador de Cesàro, dicho operador es el operador menos esperado para ser hipercíclico. El punto de partida inicial del Capítulo 5, fue intentar usar las téc- nicas de demostración del Capítulo 2, para extender un resultado de S. Ansari, anteriormente extendido por diversos autores. En 1995 S. Ansari ([2]) prueba que si el operador T en B(X), siendo X un espacio de Banach, es hipercíclico entonces el operador T N también lo es, más aun ambos operadores tienen los mismos vectores hipercíclicos. Este reconocido resultado resuelve una cuestión planteada por D. Herrero cuestión que a su vez está motivada por otra cuestión, relacionada con la multihiperciclicidad. El trabajo de Ansari tuvo un impacto científico importante. El argumento de su demostración, basado en la idea de conectividad del conjunto de vectores hipercíclicos, ha sido ampliamente utilizado por diversos autores. Sin embargo, aunque este era el objetivo inicial del trabajo [30], cuan- do el trabajo llegó al revisor (pronto se desveló que era K. G. Erd- mann), éste se dio cuenta de que en realidad se estaba dando respuesta a una pregunta planteada por P. S. Bourdon en 1995 (véase [12]). En 1995 P. S. Bourdon prueba que si una aplicación continua (no nece- sariamente lineal) f sobre un espacio topológico tiene órbita densa, pero la aplicación f2 no tiene órbita densa (si eliminamos la linea- lidad el resultado de Ansari deja de ser cierto) entonces el conjunto de puntos del espacio con órbita densa, se descompone en una par- tición en la cual la dinámica de la aplicación f es fácil de describir. En dicho trabajo el caso general (es decir, el caso de que la órbita de x por f sea densa pero la órbita bajo fN no es densa) se plantea como un problema abierto. En este capítulo resolvemos el problema de Bourdon. Obtenemos además una demostración del resultado de S. Ansari completo ([2]), es decir, tras este resultado ya no caben más extensiones. Es conocido que si un operador T, sobre un espacio de Banach X, verifica el Criterio de Hiperciclicidad, dicha condición es equivalente a que el operador T suma directa con T, sea hipercíclico en X suma directa con X. En el Capítulo 6, nuestro objetivo es estudiar ciertas condiciones equivalentes a la hiperciclicidad del operador T suma directa con T en virtud de la densidad de ciertas subórbitas del operador T y a su vez equivalentes a la noción de superciclicidad positiva para un caso especial en el que el espectro puntual del adjunto no sea vacío. Los resultados de esta memoria vienen recogidos en [30, 40, 41, 46, 47, 48, 61] hay 5 artículos publicados y dos de ellos están enviados para su publicación.