Teoría de la medida en álgebras efecto. Módulo de bishop-phelps-bollobás

Resumen

En esta tesis se estudian y resuelven problemas que se presentan en la teoría de la medida sobre las álgebras efecto y en la geometría en espacios de Banach. El objetivo de la primera parte es el estudio de propiedades sobre las que se conocen resultados en álgebras de Boole y su posible traslación a resultados análogos en las estructuras más débiles que son las álgebras efecto. En la segunda parte presentaremos el módulo de Bishop¿Phelps¿Bollobás para estudiar algunos aspectos relacionados con el teorema homónimo. Así, el capítulo 1 se presenta a modo de antecedentes, en el que recordaremos propiedades sobre las conocidas álgebras de Boole, presentaremos ejemplos interesantes y haremos un recorrido sobre distintas definiciones equivalentes recopiladas por E. V. Huntington, donde veremos que se pueden definir las álgebras de Boole con muy pocos postulados independientes, siendo posible demostrar la propiedad asociativa a través de ellos e incluso definirlas con una única operación binaria. A continuación, definiremos el concepto de sigma-álgebra de Boole, estructura sobre la que se conocen muchos resultados de Teoría de la Medida. Presentaremos distintos tipos de medidas y sucesiones de medidas, y veremos ejemplos y resultados que las relacionan. Finalmente, expondremos las propiedades bien conocidas de Vitali¿Hahn¿Saks, Nidodým y Grothendieck, veremos ejemplos y las relaciones que hay entre ellas y otras propiedades, como la de Interpolación o la de Completitud Subsecuencial. En el capítulo 2, introduciremos la noción de álgebra efecto, (que es, como decíamos, una estructura más débil que la de álgebra de Boole) y estudiaremos algunas propiedades de la teoría de la medida ya estudiadas en las de Boole. Presentaremos la definición de álgebra efecto, donde veremos que toda álgebra de Boole es álgebra efecto (ver lema 2.2.2); veremos ejemplos, expondremos algunas propiedades y definiremos las álgebras efecto de conjuntos, que utilizaremos posteriormente. Veremos estructuras más fuertes que la de álgebra efecto como ejemplos de éstas y paralelamente a lo que hicimos en el capítulo 1 de álgebras de Boole, presentaremos las definiciones equivalentes de álgebra efecto, que son los D-posets y las ortoálgebras débiles. A continuación, definiremos varios tipos de medidas y sucesiones de medidas en un álgebra efecto que toman valores en un espacio de Banach real, veremos resultados y ejemplos originales que las relacionan, presentaremos el concepto de variación de una medida real en un álgebra efecto y expondremos una serie de teoremas originales basados en teoremas clásicos de Teoría de la Medida utilizando una nueva propiedad para las álgebras efecto, la propiedad (RDP). Estudiaremos las relaciones entre las propiedades de Vitali¿Hahn¿Saks, Nikodým y Grothendieck sobre álgebras efecto, daremos un ejemplo de un álgebra efecto que es Vitali¿Hahn¿Saks pero no Nikodým y veremos relaciones con otras propiedades. Presentaremos un resultado original basado en uno clásico de la teoría de la medida, el Lema de Phillips en álgebras efecto naturales de conjuntos con cierta propiedad (S1), del cual se deducen algunos resultados tipo Vitali¿Hahn¿Saks. Finalmente, expondremos una serie de problemas abiertos que se derivan de los anteriores y que han quedado sin resolver y se presentan como trabajo de continuación y nuevas líneas de investigación; tales como la búsqueda de propiedades a añadir a un álgebra efecto y su relación con las estudiadas en las secciones anteriores. En el capítulo 3, basándonos en el teorema de Bishop¿Phelps¿Bollobás, introduciremos el módulo que lleva su mismo nombre. En esta tesis presentaremos una visión original y alternativa de dicho módulo a la publicada en el artículo [CKM+14]. Definiremos el módulo de Bishop¿Phelps¿Bollobás y daremos propiedades, de entre las que destacamos las cotas del módulo, que permiten mejorar el teorema de Bishop¿Phelps¿Bollobás y la estabilidad del módulo en el sentido de la distancia de Banach¿Mazur. Realizaremos los cálculos del módulo en los espacios de Banach clásicos siguientes: R, H espacio de Hilbert con dimensión mayor o igual que dos, C (K) con K conjunto compacto, R^n_1 y R^n con la norma infinito con n > 2, c0, c, l_1 y l_infinito. Finalmente, presentaremos una serie de problemas abiertos, como el estudio de la continuidad del módulo o su cálculo en p con p>1 distinto de 2.